Ecuaciones, métodos y un billar circular

Cuántas veces habrás calculado las raíces de un polinomio de segundo grado… Todas esas veces has resuelto una ECUACIÓN NO LINEAL.

Sí, ax²+bx+c=0 es una ECUACIÓN NO LINEAL muy especial para la que existe.… ¡una fórmula!

⬇️⬇️⬇️

Las dos raíces (reales o complejas) de un polinomio de segundo grado son

x=(-b±√(b²-4ac))/(2a).

Si b²>4ac, ambas son reales y las puedes visualizar en una representación gráfica.

Son los valores de x para los cuales f(x)=0, los puntos en que la gráfica corta al Eje X, vaya.

Pero no te confundas porque la gran mayoría de las ecuaciones no lineales no se pueden resolver tan fácilmente. De hecho, calcular si el polinomio es de grado tres o cuatro ya no es tan trivial; y, a partir de quinto grado, no existe fórmula general.

Cosas de las matemáticas.

Veamos un ejemplo.
Esto es la representación gráfica de un polinomio de grado 5. En concreto, f(x)= x⁵ – 4.15 x⁴ + 2.975 x³ + 4.15 x² – 3.975 x.

▶️ La raíz x=0 está clara a partir de su expresión analítica puesto que el término independiente vale cero.
▶️ Con Ruffini, sería fácil obtener dos raíces más: x=-1 y x=1.
▶️ La raíz x=1.5 “casi” que la podemos obtener desde la gráfica.

Pero, ¿y la última raíz?

La inexistencia de una fórmula general nos obliga a abordar el problema desde el cálculo numérico.

Esta rama de las matemáticas se encarga de diseñar y analizar algoritmos para resolver “computacionalmente” problemas matemáticos más complejos.

Pues vamos a ello.

🆘ANUNCIO IMPORTANTE:

Los métodos iterativos de los que hablaré a continuación son, desde mi punto de vista, muy atractivos, pero mi intención no es escribir un manual, sino ilustrar de manera intuitiva cuatro métodos numéricos para la resolución de ecuaciones no lineales.

Los métodos iterativos tratan de resolver un problema matemático (como una ecuación no lineal) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial:

x₀ → x₁ → x₂ → …

Algo que sí podemos deducir desde la gráfica es que dicha raíz está, por ejemplo, entre 2 y 3. De hecho, dado que la función es continua, f(2) es negativo y f(3) es positivo (f(2)f(3)<0), el Teorema de Bolzano confirma que existe una raíz en (2,3).

Situémonos en dicho intervalo.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

(1) Elegimos dos valores a y b tales que f(a)f(b)<0 (2 y 3, por ejemplo).
(2) La primera aproximación será el punto medio c=(a+b)/2.
(3) Identificamos el subintervalo donde se produce el cambio de signo.
(4) Repetimos el proceso con dicho subintervalo.

El método de la bisección se puede implementar en Python (o cualquier otro lenguaje de programación) de forma sencilla. En este caso, y con una tolerancia de 0.001, el resultado con cinco pasos es x= 2.6494140625.

MÉTODO DE NEWTON

(1) Elegimos un valor lo suficientemente cercano a la raíz (por ejemplo, x₀=2.5).
(2) Trazamos la recta tangente en dicho punto.
(3) La primera aproximación x₁ será la intersección de la recta tangente con el eje X.
(4) Repetimos el proceso con x₁.

Si usamos el método de #Newton (también conocido como Newton-Raphson) debemos conocer una aproximación de las derivadas. Esto lo conseguimos con la fórmula de los cinco puntos.

En Python, con una tolerancia de 0.001, se necesitan cuatro pasos y se obtiene x= 2.6500001641745.

MÉTODO DE LA SECANTE

(1) Elegimos dos valores cercanos a la raíz (por ejemplo, x₀=2.4 y x₁=2.7).
(2) Trazamos la recta que pasa por (x₀,f(x₀)) y (x₁,f(x₁)).
(3) La primera aproximación x₂ es la intersección de la recta con el eje X.
(4) Repetimos el proceso con x₁ y x₂.

El resultado del método de la #secante en #Python con x₀=2.4 y x₁=2.7 y una tolerancia de 0.001, devuelve x= 2.649997743435441 en cuatro pasos.

MÉTODO DE REGULA FALSI

El método de “regula falsi” (falsa posición) es una combinación del método de la #bisección y la #secante, tomando las rectas de forma que las intersecciones con el eje X (las sucesivas aproximaciones) estén siempre entre la anterior y la raíz.

El resultado del método de #RegulaFalsi en Python con x₀=2.4 y x₁=2.7 y una tolerancia de 0.001, devuelve x= 2.64996368 en cuatro pasos.

Evidentemente, el empleo de estos métodos ha de ser estudiado en profundidad: su convergencia, condiciones, etc.

El polinomio es exactamente p(x)= x(x+1)(x-1)(x-1.5)(x – 2.65), así pues la última raíz es 2.65 y ha sido capturada por los cuatro métodos (de forma MUY aproximada).

✅ Veamos una aplicación muy chula:

Imagina que juegas al billar en una mesa circular y tu objetivo es golpear la bola roja con la verde tras el correspondiente impacto en el borde de la mesa.

¿De cuántas formas podrías golpear la bola verde para conseguirlo?

Efectivamente, son cuatro formas.

Ahora bien, ¿cuáles son los cuatro ángulos determinados por los puntos de impacto que permiten golpear la bola roja (despreciando el tamaño de la bola)?

Lo curioso es que coinciden con las soluciones de f(t)=0 donde R es el radio de la mesa.

En esta animación puedes comprobarlo, pero ¿cómo narices podemos obtener el valor de las cuatro soluciones de esta ecuación no lineal? ¿Quién es el guapo/a que se atreve con ella?

La opción reside, por supuesto, en el empleo de los cuatro métodos anteriores. De hecho, si tomamos una tolerancia de 10^(-6):

biseccion(f,1,5.5,tol) -> 1.5707960724
Newton(f,3.5,100,tol) -> 3.8713203098
secante(f,1,5.5,100,tol) -> 5.5534576509
regula_falsi(f,1,5.5,100,tol) -> 4.7123889803

Este ejercicio aparece en las hojas de la asignatura Cálculo Numérico del primer curso del grado en Física de la Universidad de Alicante en donde tengo el gusto de ejercer parte de la docencia junto con los profesores, compañeros y amigos, Carmen Gandía y Rubén Campoy.

Pues nada, que hoy es mi cumpleaños y quería celebrarlo compartiendo estas cosas (que son chulísimas).

Muchas gracias y perdón por el rollo que acabo de soltar ;))))))))))))))))))))))))))))))))))

Anuncio publicitario