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Nicomedes, la concoide y la duplicación del cubo

Imagina que tienes un cubo de lado l (y volumen V=l^3) y deseas construir otro cubo con el doble de volumen V*=2V. En la antigua Grecia trataron de construirlo (en vano) usando solo una regla (sin marcas) y un compás. Nicomedes, sin embargo, hizo una aportación maravillosa.

De forma analítica, el cálculo es inmediato. Si el volumen del primer cubo es V=l^3, el volumen V* del cubo de lado y=2^(1/3)*l es el doble de V. De hecho, V*=y³=2*l³=2V.

Pero una cosa es calcularlo y otra, construirlo usando exclusivamente una regla sin distancias marcadas (es decir, una vara sin más) y un compás.

Y esta construcción es el clásico problema de la duplicación del cubo.

Los griegos no fueron capaces de resolver este problema porque… ¡simplemente no se puede!

Pero, en su afán por conseguirlo, desarrollaron otras construcciones de antología.

Una de ellas se debe a Nicomedes, contemporáneo de Arquímedes y Eratóstenes, que llegó a construir el lado del nuevo cubo.

Pero, eso sí, lo hizo utilizando una regla con las distancias marcadas ya que ¡necesitaba medir!

No era la solución del problema, es cierto, pero no fue en vano.

A tal fin, Nicomedes introdujo una curva especial a la que llamó “concoide” por su semejanza con una concha marina. Y esta curva podía ser utilizada para duplicar el cubo, pero también para aproximarse a otro de los problemas clásicos: la trisección del ángulo.

Se trata de una curva con dos ramas generadas por los puntos de intersección de las rectas que pasan por un punto fijo (foco) y los puntos de otra recta (fija también y llamada directriz) y la circunferencia de un radio dado con centro los puntos de esta última recta.

La construcción geométrica de Nicomedes a fin de construir el lado de un cubo cuyo volumen es doble de otro dado se puede ver en este vídeo.

A lo largo de los siguientes tuits, voy a tratar de justificar cómo consiguió construir el lado del cubo con el doble de volumen.

En particular, es sorprendente la destreza con que Nicomedes combinó las equivalencias de ciertas distancias en base a semejanzas, el Teorema de Pitátogas y la concoide.

En cualquier caso, el paso previo se debe a Hipócrates de Quíos (aprox. 470–410 aC) que se dio cuenta de que el problema se podía reducir a encontrar dos medias proporcionales. Y Nicomedes ya partía con esa ventaja.

En concreto, las medias proporcionales respecto a los valores l (lado del cubo original) y 2l (doble de dicho lado) son dos valores x e y tales que:

(2l):x=x:y

x:y=y:l El valor y es exactamente la longitud del lado buscado (y^3=2l^3).

En efecto,

(y^3:l^3)=(y:l)^3=(y:l)(x:y)((2l):x)=2.

Y, por tanto, y^3=2l^3.

Es decir, V*=2V y, además, y=2^(1/3)l.

A partir de la construcción geométrica, se puede llegar a la conclusión de que la longitud del segmento amarillo (|AM|) es el valor buscado.

De hecho,

(2l):|CK|=|CK|:|AM|=|AM|:l.

donde |CL|=2l y |AL|=l.

Vayamos al lío…

Los triángulos BKM, CKL y ALM son semejantes, por tanto:

|CL|:|CK|=|BM|:|BK|

|BM|:|BK|=|AM|:|AL|

Además, |CL|=2l y |AL|=l.

Si tuviéramos que |BM|:|BK|=|CK|:|AM|, entonces

|CL|:|CK|=|CK|:|AM|=|AM|:|AL|,

y podríamos decir que |AM| es el lado buscado.

La demostración podemos decir que tiene dos partes:

  1. Vemos que |DM|=|FK|.
  2. Vemos que |BM|:|BK|=|CK|:|AM|.

Primera parte: ¿|DM|=|FK|?

A partir de la semejanza de las distancias que quedan determinadas en los lados del triángulo BKM y los segmentos AL y CL, se tiene que:

|AM|:|AB|=|LM|:|KL|=|BC|:|CK|.

A partir de |AM|:|AB|=|BC|:|CK|, y dado que |AB|=2|AD| y 2|BC|=|GC|,

|AM|:|AD|=|CG|:|CK|.

A partir de la semejanza de los triángulos FGK y CHK, se tiene que:

|AM|:|AD|=|CG|:|CK|=|FH|:|HK|.

Por la construcción de la concoide, |HK|=l y, esto junto a |AD|=l, implica que |HK|=|AD|.

De |AM|:|AD|=|FH|:|HK|, se tiene que |AM|=|FH|.

Si |AD|=|HK| y |AM|=|FH|, entonces |DM|=|FK| (y |DM|² =|FK|²).

Y, en consecuencia,

|DM|:|AD|=|FK|:|HK|.

Segunda parte: ¿|BM|:|BK|=|CK|:|AM|?

Si llamamos a=|EK| y b=|CE| (donde |.| es la longitud del segmento),y aplicando (a+b)(a-b)=a²-b², se tiene que:

|BK||CK|=|EK|²-|CE|² o, equivalentemente,

|BK||CK|+|CE|²=|EK|².

Sumamos |EF|^2 en ambos lados de la igualdad anterior y, por el Teorema de Pitágoras (|CF|²= |CE|²+ |EF|² y |FK|²=|EK|²+|EF|².),

 |BK||CK|+|CF|²=|FK|².

Por otra parte, si a=|DM| y b=|DA|, aplicando el producto de la suma por diferencia como en el paso 1,

|BM||AM|=|DM|²-|AD|², es decir,

|DM|²= |BM||AM|+|AD|².

Dado que |DM|² =|FK|²,

|BM||AM|+|AD|²=|BK||CK|+|CF|².

Pero, además, |AD|²=l=|CF|², y se tiene que:

|BM||AM|=|BK||CK|.

O, equivalentemente, |CK|:|AM|=|BM|:|BK|.

En resumen,

|CL|:|CK|=|CK|:|AM|=|AM|:|AL|,

donde |CL|=2l y |AL|=l.

Por tanto, |CK| y |AM| son las medias proporcionales. En concreto, |AM| es el lado del cubo cuyo volumen es doble (2^(1/3)l^3).

Fin de la demostración.

Si has llegado hasta aquí, muchísimas gracias.

Y, si te ha gustado o crees que puede resultar útil, te animo a compartirlo.

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