La verosimilitud probabilística, prácticamente magia

Según la @RAEInforma, verosímil es aquello que tiene apariencia de verdadero, o que es creíble por no ofrecer carácter alguno de falsedad. El concepto de verosimilitud es de gran importancia en probabilidad y estadística. Prácticamente magia.
#HilosDC6

Imagina que estás frente a una urna cuyo contenido permanece oculto, pero te dicen que:

1) hay cuatro bolas,

2) cada una de ellas puede ser blanca o negra.

El problema es que se niegan a decirte cuántas bolas hay de cada color.

Supón que para ti es de vital importancia “conocer” esa información.

O, al menos, aproximarte a ella.

Sin mayor información, convendrás conmigo en que sería imposible tomar una “decisión”.

Nota que es suficiente saber cuántas bolas blancas hay dentro de la urna y que esto es equivalente a saber qué proporción de bolas son blancas.

Si llamamos p a la proporción de bolas blancas, p puede ser igual a:

0: si solo hay bolas negras.

1/4: si hay una bola blanca y tres bolas negras.

2/4: si hay dos bolas blancas y dos bolas negras.

3/4: si hay tres bolas blancas y una bola negra.

1: si solo hay bolas blancas.

Imagina que te dejan extraer dos bolas con reemplazamiento. Y ocurre lo siguiente:

Sacas la primera bola, observas que es blanca ⚪️.

La devuelves a la urna 📥.

Sacas la segunda bola, que resulta ser negra ⚫️.

En cada extracción, la probabilidad de sacar una bola blanca es el número de bolas blancas entre el número total de bolas. Exactamente p, exactamente lo que necesitamos “conocer”.

Y, si eso es así, la probabilidad de extraer una bola negra es 1-p.

Lo que está claro es que p puede valer 0, 1/4, 2/4, 3/4 ó 1.

Tu objetivo es elegir uno de esos valores, es decir, dar una estimación de p a la que llamaremos p*.

¿Bajo qué criterio? ¿Qué tal si vemos cuán posible es obtener nuestro resultado bajo cada uno de dichos valores?

Más concretamente, ¿con qué probabilidad extraerías primero blanca y luego negra si p=0, o p=1/4, o p=2/4… etc.? ¿Cuál de los valores de p es más verosímil?

Pues bien, dos de las posibilidades se pueden descartar ya…

En la urna hay alguna bola blanca y alguna bola negra, si no… ¡¿cómo podrías haber extraído una de cada?!

Así pues, no puede ser que p=0 ni tampoco que p=1, ya que estaríamos diciendo que o bien que todas las bolas son negras o bien que todas las bolas son blancas.


Te quedan, por tanto, tres posibilidades p=1/4, p=2/4 y p=3/4.

Veamos qué ocurre si p=1/4, es decir, si hay una sola bola blanca y tres bolas negras en la urna. En este caso, la probabilidad de extraer blanca y luego negra, es igual a:

P(B, N)=P(B)P(N)=p(1-p)=(1/4)*(3/4)=3/16.

El cálculo de esta probabilidad tiene en cuenta que el resultado de la segunda extracción no depende de la primera (recuerda que devolvimos la primera bola a la urna) y además la probabilidad de extraer una bola blanca se mantiene intacta. Una muestra aleatoria simple, vaya.

En otras palabras, P(B,N)=3/16=0.1875 quiere decir que tu resultado (blanca y negra, en ese orden) se obtendrá en el 18.75% de casos si hay una bola blanca y tres negras en la urna.

Observa que, lógicamente, será el mismo número de casos en que saldrá primero negra y luego blanca.

Veamos ahora qué pasaría si p=2/4 (=1/2). Bajo este supuesto, en la urna hay dos bolas blancas y dos bolas negras y la probabilidad de extraer blanca y luego negra, es igual a:

P(B, N)=P(B)P(N)=p(1-p)=(2/4)*(2/4)=4/16 (=1/4).

Finalmente, si p=3/4, en la urna hay tres bolas blancas y una bola negra, y la probabilidad de extraer una blanca y luego una negra es igual a:

P(B, N)=P(B)P(N)=p(1-p)=(3/4)*(1/4)=3/16.

Recapitulemos:

p=0: La probabilidad de obtener el resultado es 0, así que no puede ser.

p=1/4: La probabilidad correspondiente es 3/16=0.1875.

p=2/4: La probabilidad correspondiente es 4/16=0.25.

p=3/4: La probabilidad correspondiente es 3/16=0.1875.

p=1: La probabilidad correspondiente es 0, tampoco puede ser.

Observa que si p=2/4, la probabilidad calculada es 0.25, lo cual implica que, bajo este supuesto, tu resultado se repetirá más veces que si p=1/4 ó p=3/4 (siempre y cuando lo repitas un número considerable de veces).

En este sentido, estarías en condiciones de afirmar que, en caso de ser necesario escoger uno de los posibles valores, el más verosímil, teniendo en cuenta el resultado de tus dos extracciones, es p*=2/4.

Fíjate que, en el fondo, lo que has hecho ha sido maximizar la función:

P(B,N)=p(1-p), donde p∈{0,1/4,2/4,3/4,1}.

¿Quiere decir esto que en la urna hay exactamente dos bolas blancas y dos bolas negras?

No, solo quiere decir que esa situación es la más verosímil, la que aparentemente tiene más visos de ser cierta con la información de que dispones.

De hecho, hay casos en que, bajo estas circunstancias, ni siquiera podrás identificar.

Date cuenta que, si únicamente extraes dos bolas, tus estimaciones serán:

Blanca + blanca: p*=1.

Blanca + negra (y negra + blanca): p*=2/4 (=1/2).

Negra + negra: p*=0.

Cualquiera de estos resultados puede ocurrir incluso si hay tres bolas blancas y una negra (o una blanca y tres negras), y, sin embargo, en ningún caso podrás concluir que p*=3/4 ó p*1/4.

A fin de poder afinar más, sería necesario realizar más extracciones (al menos cuatro).

Por ejemplo, si extraes cuatro bolas y resultan ser tres blancas y una negra, la probabilidad de obtener dicho resultado sería p³(1-p), que alcanza su máximo en p=3/4.

En este caso, tu estimación sería p*=3/4 y, por tanto, sería “correcta”.

Bien. Cuando necesitamos estimar el parámetro (desconocido) de una distribución (en este caso, la proporción de bolas blancas que hay en la urna), lo que hacemos es extraer una muestra de tamaño n que corresponde a realizar n veces el experimento (sacar n bolas de la urna).

Después calculamos la probabilidad de obtener dicha muestra cuando el parámetro toma los posibles valores. En general, esta probabilidad se conoce como “función de verosimilitud” y depende del parámetro a estimar.

Finalmente, se “estima” el valor del parámetro desconocido como aquel valor que maximiza la función de verosimilitud y corresponde, por tanto, al valor del parámetro bajo el cual se obtiene dicha muestra con mayor probabilidad.

Estas ideas son solo una breve pincelada de aquello que subyace en el método de máxima verosimilitud que sirve para “construir” estimadores con “buenas” propiedades (asintóticamente normales, insesgados, de mínima varianza, y consistentes).

Si has leído hasta aquí, muchísimas gracias. Hay quien considera la estadística como una rama menor de las matemáticas. Sin embargo, la estadística se agarra a la realidad de una forma prácticamente mágica.

En Halloween, las paradojas andan sueltas

Abrí los ojos sobre las tres de la mañana. Era una situación habitual y entonces solía ponerme de lado, agarrarme a la almohada y tratar de continuar durmiendo.

Pero aquel día no era como los demás, era #Halloween y las paradojas andaban sueltas.

#EnHebrasMatemáticas #Halloween #CarnaMatX5

El paseo por la casa del horror matemático había sido fructífero. Un rato de risas entre amigos. Un té. Una shisha. Y a la cama. Lo normal, vaya.

Sin embargo, cuando aquella noche abrí los ojos, una silueta oscura me miraba fijamente desde la puerta.

Palpé torpemente la mesilla de noche en busca de mis gafas y, cuando por fin pude ver claramente, aquella sombra había desaparecido.

Tras unos segundos de incredulidad, escuché una respiración entrecortada y una mano recorriendo mi espalda.

 

[Paradojas]
Una paradoja es algo que a primera vista parece ser falso pero que en realidad es cierto; o que parece ser cierto pero que en rigor es falso; o sencillamente que encierra en sí mismo contradicciones.
Las paradojas dependen del grado de desarrollo de las matemáticas en un momento dado; parodiando a Hamlet puede decirse que “lo que una vez fue paradoja, ya no lo es, pero puede volver a serlo”.

Las matemáticas encuentran en sus paradojas un camino para originar las más bellas y profundas teorías:«El testamento de la ciencia es un flujo continuo, de tal manera que la herejía del pasado es el evangelio del presente y el fundamento del mañana” (Kasner, et al., 1979).

Como si de un resorte se tratara, me destapé, di un salto y salí inmediatamente de la habitación.

El terror recorrió todo mi cuerpo al observar el enorme pasaje de 100 o 200 metros -qué se yo- donde hasta ayer mismo había una estancia que daba a la cocina y el baño.

Y, al final, una luz chispeante.

Lo que aquello fuera se levantó de la cama y oí un crujido de pasos sobre la tarima.

Así que, sin pensarlo demasiado, emprendí una huida desesperada por la estrechez de aquel oscuro pasillo.

 

[Zenón y la inconmesurabilidad]

Uno de los temas de mayor controversia entre los griegos fue el relativo a la relación que existe entre lo discreto y lo continuo. Este problema fue puesto en evidencia por el más destacado discípulo de Parménides, Zenón de Elea.

Según Proclo, Zenón planteó un total de cuarenta paradojas dedicadas principalmente al problema del continuo y a las relaciones entre espacio, tiempo y movimiento.

Nueve de dichas paradojas son descritas en la Física de Aristóteles​ y son esencialmente equivalentes entre sí. Aristóteles ofreció una refutación de algunas de ellas. En esta pesadilla fui “sorprendido” por tres de las más conocidas.

Las paradojas de Zenón emergen del supuesto de que “si una magnitud puede ser dividida entonces, a menudo, puede serlo indefinidamente”. Además, Zenón también supone que una cosa que no tiene magnitud no puede existir.

Sus razonamientos, ajenos sin embargo a toda posible matematización, constituyen el testimonio más antiguo que se conserva del pensamiento infinitesimal que nacerá de la mano de Leibniz y Newton en 1666.

Recorrí galopando la mitad del camino, y la mitad de la mitad, y la mitad de la mitad de la mitad, y, aunque me encontraba cada vez más y más cerca, no fui capaz de alcanzarla.

[Paradoja de la dicotomía]

Imagina que Zenón debe recorrer el espacio entre su casa y el parque. Para ello, deberá alcanzar en primer lugar el punto medio del trayecto;, después, el punto medio entre este último y la salida; y así sucesivamente.

Dado que nuestra vida es finita, “nadie puede completar un número infinito de tareas”, y es imposible que Zenón llegue al parque.

El razonamiento de Zenón es razonable (valga la redundancia), pero es claramente contrario a la experiencia. ¿Cómo no va a llegar nunca a un punto que está fijo? ¿Acaso el movimiento no existe?

¿Cuáles son las ideas formales que dan lugar a esta conclusión?

  • Desplazarse de un punto A hasta un punto B es una tarea formada por un número infinito de tareas menores.
  • Es lógicamente imposible completar una serie infinita de tareas discretas.

Lo cierto es que este simple hecho, relacionado con la posibilidad “real” de dividir el espacio en un número infinito de sumandos, se “desmiente” fácilmente gracias a las matemáticas.

Y, en consonancia con la experiencia, Zenón llegará al parque sin lugar a dudas.

Supongamos que la distancia a recorrer es L. Entonces las distancias recorridas serán L/2 (la mitad), L/4 (la mitad de la mitad), L/8 (la mitad de la mitad de la mitad)…

Estas cantidades resultan ser los términos de una progresión geométrica de razón ½, es decir, cada término se obtiene multiplicando el anterior por ½, y la distancia total será:

L/2+L/4+L/8+…

Si dicha razón es menor que uno (como es nuestro caso) es fácil demostrar que la suma de los infinitos términos de la progresión se obtiene mediante la fórmula S = a₁/(1 – r), donde a₁ es el primero de los términos.

En el fondo, el error está en presuponer que la suma de infinitas cantidades, ya sean espacios o tiempos, debe ser una cantidad infinita.

 

El cansancio pudo conmigo y me desvanecí. De repente, recuperé la consciencia al sentir un cuerpo sobre el mío, como si un perro me olisqueara el cuello y las orejas.

¿Por qué huyes de mí, muchacho?, me dijo con la voz rota y su boca pegada a mi oreja.

El frío del pasillo contrastaba con la vieja y caliente humedad de sus respiraciones.

Presa del miedo, abrí los ojos, giré la cabeza lentamente y, rodeado de tinieblas, encontré una cara cercenada por las arrugas.

El anciano, que parecía deshacerse en leves convulsiones, me miraba fijamente a escasos diez centímetros. Extendió un dedo descarnado, lo posó en mi barbilla, y me hizo levantar la mirada.

Vamos adentro, me dijo con una voz ronca.

Se levantó y comenzó a dar pasos hacia el portal. Estaba desnudo y toda la piel de la parte superior del espectro descansaba, cedida, sobre la parte baja de su espalda.

Yo que me había incorporado y me apoyaba, abrazando mis piernas, sobre la pared, no tenía ninguna intención de seguirle, pero de repente se paró, sus miembros se desencajaron, se lanzaron hacia mí y me pusieron en pie. Camina, insistió.

Me llevaba unos diez metros de ventaja y una fuerza oscura me incitaba a avanzar. A su paso iba dejando un olor nauseabundo y un calor extraño que me descongelaba los huesos.

Mi ritmo era ciertamente mayor que el suyo, pero, cuando hube recorrido la ventaja inicial, el anciano se encontraba unos metros más adelante. Y cuando los hube transitado, me llevaba unos pocos metros más.

[Paradoja de Aquiles y la Tortuga]

Aquiles y la tortuga es, quizás, la más conocida de las paradojas de Zenón.

En ella, Aquiles, el atleta más veloz, capaz de alcanzar los 100 m/s, se enfrenta a una tortuga en una “disputadísima” carrera. A fin de no parecer un engreído, Aquiles le concede una considerable ventaja (100 metros).

En solo 10 segundos, Aquiles recorre la ventaja que le separa de la tortuga, y esta, que avanza a 1 m/s, se ha desplazado 10 metros. En un solo segundo, Aquiles recorre esos 10 metros, la tortuga se ha desplazado 1 metro; cuando Aquiles recorre ese metro, la tortuga ha avanzado 10 cm…

Según Zenón, es imposible que Aquiles alcance a la tortuga puesto que debería cubrir infinitos trayectos, recorrer un espacio infinito y emplear un tiempo infinito. La tortuga se hace con el triunfo.

¿Cuáles son las ideas formales que dan lugar a esta conclusión?

  • Para que un cuerpo en movimiento alcance a otro, también en movimiento, es preciso que el primero pase antes por cada uno de los puntos que el otro va dejando.
  • El cuerpo perseguidor tiene que completar una serie infinita de tareas antes de alcanzar al perseguido.

En el razonamiento de Zenón aparece, de nuevo, el hecho de que la suma de infinitas distancias será infinito y Aquiles necesitaría un tiempo infinito.

Y la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente) nos permite comprobar que, con las velocidades anteriormente indicadas, el tiempo empleado por Aquiles hasta alcanzar a la tortuga será de 11.1111… segundos. Menos de 12 segundos, vaya (y ya me parece mucho).

Bajo una apariencia “inofensiva” esta paradoja fue uno de los caballos de batalla de las matemáticas durante muchos siglos. De hecho, se tardó más de 2000 años en desvelar el enigma por completo, gracias a la Teoría de Límites y el Cálculo Infinitesimal. 

Las firmes paredes comenzaron entonces a estrecharse más y más sobre mi cuerpo. Los huesos de mi espalda, de mis hombros, de mis piernas incluso, ya eran añicos y, de repente vi un ojo blanco en el angosto agujero en que se había convertido el pasillo.

Grité. Y todo se hizo oscuridad. Sin sensación física alguna, mi alma era un punto que volaba por un vacío negro, así como una mota de polvo, en un movimiento volátil. Espeso. Curvilíneo.

Entonces unos fogonazos de luz empezaron a calcinarme la visión. Y, entre las llamaradas, apareció la misma sombra. Una sombra que, aun sin moverse, parecía estar más y más cerca.

[Paradoja de la flecha]

Imagina que se lanza se lanza una flecha. En cada momento de tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse.

Es decir, la flecha está en reposo durante ese instante.

Ahora bien, el mismo argumento puede aplicarse a los demás periodos de tiempo, de modo que la flecha está siempre en reposo.

¿Cuáles son las ideas formales que dan lugar a esta conclusión?

  • En cada instante ti, la flecha no se mueve,
  • Un intervalo de tiempo no es más que una colección de instantes t₀,t₁,…tᵢ,…,

En el fondo, lo que aquí está ocurriendo es que un instante no es suficientemente grande para que el movimiento tenga lugar, ya que el movimiento es una relación entre objetos, lugares y varios instantes.

Un objeto está en reposo en un instante justo cuando permanece en la misma posición en todos los instantes cercanos, y está en movimiento en un instante si “vive” en distintos sitios en instantes cercanos.

Sin posibilidad alguna de escapar, con el pánico picoteándome las entrañas, el corazón vacío de sangre y los pulmones inundados de un miedo venenoso, cerré los ojos tan fuerte como pude. Y me dispuse a poner el punto final.

Pero entonces un sonido estridente me reventó los oídos. Me incorporé y comprobé que todo había sido una pesadilla. Una pesadilla de esas que se recuerdan en #Halloween.

Si has leído hasta aquí, muchísimas gracias. Las paradojas a veces pueden convertirse en auténticos laberintos para la razón.

Esta publicación participa en el #CarnaMatX5 cuyo anfitrión es @gaussianos (https://www.gaussianos.com/), continua inspiración para todos aquellos que amamos las matemáticas.

Las matemáticas a través de un túnel

La isla de Samos ha pasado a la historia por ser la cuna de Pitágoras en el siglo VI a.C.

Sin embargo, otro hito relacionado con las matemáticas sigue siendo recordado en la actualidad:

LA CONSTRUCCIÓN DEL TÚNEL DE EUPALINO.

Samos estaba gobernada por Polícrates, un tirano que había alcanzado el poder tras un golpe de estado tramado junto a sus hermanos, a los cuales hizo desaparecer rápidamente.

Según cuenta Herodoto, Polícrates gozó de una alta popularidad, estableció vínculos con Egipto y convirtió la isla en un gran centro religioso y cultural.

Bajo su reinado, Samos recibió a los más grandes artistas y eruditos.

“En muy poco tiempo subieron los asuntos de Polícrates a tal punto de fortuna y celebridad que así en Jonia como en lo restante de Grecia se oía sólo en boca de todos el nombre de Polícrates, observando que no emprendía expedición alguna en que no le acompañase la misma felicidad” [Herodoto].

El tirano emprendió tres obras principales: la construcción del templo de Hera, la fortificación de la ciudadela y la excavación de un túnel-acueducto para abastecer de agua a la población.

A nivel constructivo, las matemáticas iban a jugar un papel esencial.

La necesidad de agua era acuciante. Sin embargo, el manantial más cercano se situaba al otro lado del monte Kastro, y Polícrates planteó la urgencia de abastecer del líquido elemento a una población en continuo crecimiento.

Eupalino, un arquitecto natural de Megara, quedó encargado de construir el túnel-acueducto. Y no era trivial.

La obra debía realizarse lo más rápido posible y debía ser subterránea, a fin de evitar su bloqueo en caso de invasión.

Ante tal desafío, el arquitecto acudió al ingenio. Y, ya sabemos que, cuando hablamos de ingenio, suelen aparecer las matemáticas.

Eupalino lo vio claro: la única posibilidad era comenzar la construcción desde ambos extremos.

Solo había un pequeño problema:

Sin conocer la dirección exacta, los obreros podrían pasar años excavando sin encontrarse en el corazón de la montaña.

¿Qué pudo hacer exactamente Eupalino?

Pues bien, nada cierto se conoce debido a que el arquitecto no dejó nada escrito. Solo su obra bajo la montaña.

Sin embargo, Herón de Alejandría (s. I a.C.) describe un método que bien pudo ser la clave.

Eupalino de Megara entró en juego una vez los grupos de obreros estaban formados y los consejeros de Polícrates habían señalado los puntos de entrada y salida del túnel (A y B).

Su solución es sencillamente brillante, y es fiel reflejo del potencial de las matemáticas griegas.

 

En primer lugar, Eupalino debió fijar una dirección arbitraria desde el punto A (llamémosle AK).

Después, el equipo de trabajo debía bordear el monte, desde A, pasando por K, hasta llegar al punto B, a lo largo de una poligonal con tramos perpendiculares.

Las longitudes de los tramos de la poligonal permitieron obtener los catetos de un triángulo rectángulo ΔABC cuya hipotenusa AB representaba el túnel (y, por tanto, la dirección que debía seguir la excavación en ambos lados).

Pocos años antes, Tales de Mileto había establecido las reglas para la mayor herramienta de la mente humana: las matemáticas (tal y como las conocemos ahora con el esquema teorema-demostración).

Y estas encontraron en los triángulos la semilla perfecta.

Por tanto, un arquitecto reconocido como Eupalino, mandado llamar por un gobernante exitoso como Polícrates, debía conocer las cuestiones referentes a la semejanza de triángulos (sus longitudes, sus proporciones, sus razones, sus ángulos).

Así, por ejemplo, Eupalino sabría que:

“Si dos triángulos rectángulos tienen catetos proporcionales, entonces sus ángulos agudos son iguales”.

En otras palabras, si ΔABC es un triángulo rectángulo cuya razón entre los catetos es r=AC/BC, entonces es posible construir otro triángulo rectángulo ΔADE con el mismo vértice A y cuyos catetos responden a la misma razón, de forma que las hipotenusas están alineadas.

Lo cual, en un lenguaje menos coloquial, da lugar a la siguiente propiedad:

“Si ΔABC y ΔADE son dos triángulos rectángulos con un vértice común A, AC y AD son perpendiculares y, además, BC/AC=AD/DE, entonces las hipotenusas AB y AE están en línea recta”.

Tal y como ya hemos comentado, Eupalino habría calculado la longitud de los catetos del triángulo rectángulo en el que el túnel era la hipotenusa, así que pudo obtener fácilmente la razón entre ellos.

En nuestra figura, r=BC/AC=4.15/2.5=1.66.

Por último, atendiendo a la propiedad anterior, el arquitecto construyó dos pequeños triángulos rectángulos, con vértices en A y B, cuyos catetos responden a la razón r (1.66) y sean paralelos a los tramos de la poligonal.

Et voilà! ¡La dirección quedaba fijada!

Otras dos cuestiones, o problemas, quedaban por resolver:

  1. Había que asegurar el encuentro de los dos grupos de obreros aproximadamente en la mitad del túnel.
  2. Había que asegurar el flujo de agua el comienzo hasta el final del túnel.

A fin de resolver el primer problema, Eupalino calculó la longitud del túnel mediante la semejanza de triángulos e indicó a cada uno de los grupos que, cercanos a dicha distancia, giraran hacia la izquierda y la derecha convenientemente. El encuentro quedaba así asegurado.

Por otro lado, a fin de asegurar el flujo de agua, Eupalino pudo haber construido un acueducto exterior provisional bordeando el monte (como la poligonal) y obtener la altura exacta del punto de partida y de llegada.

Como resultado, la ciudadela recibió la tan esperada agua a través del túnel más largo de su tiempo, con 1036 metros de longitud.

El túnel de Eupalino, el Pitagoreo (la ciudadela) y el templo de Hera fueron registrados como Patrimonio de la Humanidad de la Unesco en el año 1992.

Sobre Eupalino de Megara poco más se sabe.

La literatura alabó muchas obras suyas, pero no se conserva ninguna (al menos, con certeza).

La leyenda dice que Polícrates, temeroso de perder el favor de los dioses, lanzó al mar el más valioso de sus anillos.

Un pescador lo encontró y se lo devolvió.

El faraón egipcio, otrora su aliado, rompió su alianza creyendo que era muestra de la pérdida del favor divino.

Y finalmente, conviene tener presente que, aunque todo esto ocurrió en vida de Pitágoras, este se encontraba inmerso en su proceso de formación y pudo haber sido un mero observador de la colosal obra.

Y esta es la historia del túnel de Eupalino. Una historia de ingeniería, de arquitectura y de matemáticas. Una historia en la que las matemáticas entroncan con la leyenda.

¡Muchas gracias por leer este post!

 

 

Cómo incluir GIFs en beamer

Archivos

El uso de GIFs puede ser muy enriquecedor para la exposición de nuestros contenidos.

La inclusión de GIFs en #Powerpoint es bien sencilla, pero muchos/as creamos nuestras presentaciones en #Latex en forma de PDFs.
¿Cómo podemos insertar un #GIF en un PDF construido con #beamer?
En pocas palabras, un GIF no es más que una sucesión de imágenes que se muestran una detrás de otra dando la sensación de movimiento.
Paso 1: Conseguir el conjunto de imágenes que forman parte del GIF (se puede usar image magick).
Paso 2: Crear un archivo Latex de tipo beamer (presentaciones) y cargar el paquete animate.
Recordemos que este tipo de archivos tienen extensión tex y son muy parecidos a los txt. En ellos se distinguen dos partes: el preámbulo y el cuerpo del documento.
En los tex de tipo beamer las diferentes diapositivas se encierran en los entornos frames.
\documentclass{beamer}

%CARACTERES DEL IDIOMA
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}

%TEMA
\usetheme{Warsaw}

%ANIMACIONES
\usepackage{animate}

%TÍTULO
\author{Julio Mulero}
\title{¿Cómo insertar un gif en beamer?}

\begin{document}

\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{¿Cómo insertar un gif en beamer?}

\begin{center}
\animategraphics[autoplay,loop,width=0.7\linewidth]{1}{Gif1/Imagen-}{0}{6}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{¿Cómo insertar un gif en beamer?}

\begin{center}
\animategraphics[controls,width=0.7\linewidth]{15}{Gif2/interp1-}{0}{123}
\end{center}

\end{frame}

\end{document}
Paso 3: Usar el comando \animategraphics en la diapositiva donde queramos incluir el GIF.
Paso 4: Indicar la ruta de acceso a las imágenes que forman parte del GIF, la numeración correspondiente y la velocidad de reproducción.
Esas especificaciones son obligatorias, como es lógico.
Paso 5: Adicionalmente, se puede especificar, por ejemplo, el tamaño del GIF resultante, si deseamos que se reproduzca automáticamente en bucle, o si, por el contrario, preferimos disponer de unos controles de reproducción.
Paso 6: Compilar y observar el resultado final.
Algunas herramientas de Latex requieren de más de una compilación para tomar forma. En este caso, necesitaremos compilar dos veces.
Espero que os sea de utilidad a aquellos/as que usáis Latex.
Yo utilicé esta opción por primera vez en la exposición de mi proyecto docente con motivo de mi reciente oposición y debo reconocer que ahora estoy haciendo presentaciones mucho más ricas gracias a los GIFs.

Los centros del triángulo

Cuántas veces has oído que un triángulo tiene incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro…

Quizás no sabías que la Enciclopedia de Centros del Triángulo (de Clark Kimberling) recoge 34294 puntos “especiales” asociados a los triángulos.

Mira, estos son los diez primeros ⬇️⬇️

X(1): Incentro

Punto de intersección de las tres bisectrices interiores de un triángulo. Centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

X(2): Centroide o baricentro

Punto de intersección de las medianas del triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto).

X(3): Circuncentro

Punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

X(4): Ortocentro

Punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice).

X(5): Centro de los nueve puntos

Centro de la circunferencia de Feuerbach, es decir, aquella que pasa por:

  • los puntos medios de los lados del triángulo,
  • los pies de las alturas,
  • los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro del triángulo.

X(6): Punto de Lemoine o centro simediano

Punto de intersección de las simedianas (siendo una simediana la recta simétrica de la mediana respecto a la bisectriz correspondiente).

X(7): Punto de Gergonne

Punto de intersección de los segmentos que unen cada vértice con el punto de contacto de la circunferencia inscrita en el lado opuesto.

X(8): Punto de Nagel

Punto de intersección de los segmentos que unen cada vértice con el punto de contacto de la circunferencia exinscrita en el lado opuesto.

X(9): Punto intermedio o mittenpunkt

Punto de Lemoine del triángulo definido por las bisectrices exteriores.

X(10): Centro de Spieker

Incentro del triángulo definido por las rectas que pasan por los puntos medios de los lados.

 

A partir de ahí, https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html muestra los siguientes:

X(11): Punto Feuerbach

X(12): Conjugado harmónico del punto de Feuerbach

X(13): Centro isogónico punto de Fermat punto Torricelli

X(14): Segundo centro isogónico

X(15): Primer punto isodinámico

Y así hasta los 34294 puntos especiales.

Además, la relación entre todos ellos y sus muchas propiedades es abrumadora. ¡Espero que os resulte interesante!

 

Introducción de mi proyecto docente

Si quieres pájaros, planta árboles.
Anónimo

Presentación_ProyectoDocente

La carrera profesional como profesor de universidad está compuesta de numerosos  desafíos. El vuelo comienza con la adquisición de los conocimientos y habilidades necesarias hasta obtener el grado académico de doctor y continúa con un vigoroso aleteo sobre los bosques de la cuádruple vertiente: la investigación, la docencia, la divulgación científica y la gestión académica.

El vuelo es constante, desde el agitado aleteo inicial hasta un horizonte más calmado. A pesar de que los pájaros desean volar, nada asegura descubrir inmediatamente tu  rumbo: tus habilidades, tu metodología, tus contenidos, tus proyectos. Ni siquiera los vientos. Te acompaña tu familia, tus amigos y tus compañeros, y a todos ellos mando un agradecimiento muy especial, pero estás allá, en lo alto, y eres tú quien debe batir sus alas.

El bosque de la investigación, por ejemplo, está plagado de incógnitas. Y también de posibilidades. Estás convencido de que solo un conocimiento profundo de los fenómenos puede ayudarte a proponer nuevas y mejores soluciones. A lo lejos, ves el camino, y te cuestionas: “qué puedo hacer yo para alcanzar el horizonte”. Así, los hitos alcanzados en la investigación son, en gran medida, aquellos que te permiten seguir viviendo tu sueño.

El bosque de la docencia es una vasta extensión donde viven las actividades y los recursos, las explicaciones y los problemas, las palabras y las imágenes. Te repites una y otra vez que no hay una fórmula única, ni una única metodología, que asegure el éxito en cada asignatura, en cada grupo de estudiantes. Quieres decirles: “hay un mundo más allá de esto y eres capaz de alcanzarlo”, pero has de saber seleccionar las semillas adecuadas. He ahí el desafío.

El desafío docente consiste en diseñar un curso, en impartir una clase a un grupo grande, en conseguir conectar con estudiantes a los que sabes que no les “gusta” tu asignatura (aunque les guste, sin saberlo), en potenciar sus habilidades, las tuyas incluso, en resolver un conflicto durante una revisión de examen, en dirigir un trabajo de fin de grado y capear las dificultades de los alumnos más reticentes, en ser miembro de un tribunal, en reconsiderar tu posición, en responder con buena cara las diez veces que te hacen la misma pregunta, en expresarte en los términos que tus alumnos necesitan, en equivocarte en la pizarra y decirles “lo siento, yo también soy persona”, en escribir manuales docentes, en diseñar materiales útiles, en adaptarte tú, en fin, a las habilidades de tus alumnos y ser capaz de hacerles ver que ellos pueden, que ellos serán capaces, y que a ellos les gustan las matemáticas.

El desafío docente consiste también en coordinarte adecuadamente con tus compañeros,
en tomar la palabra en las comisiones docentes, en saber hablar, en saber callar, en gestionar las críticas, en defender tus posiciones hasta cierto punto, en establecer unos criterios justos, en aprender nuevas metodologías, en compartirlas con los demás, en respetar y valorar su trabajo, en ser consciente de que nunca, nunca, vas a dejar de aprender, en disfrutar de la burbuja emocional que supone entrar en el aula, en ver en tus estudiantes y tus compañeros el equipo del que depende tu éxito profesional.

El desafío docente es todo lo anterior, y mucho más, y nos corresponde a los profesores
universitarios conocer y profundizar en las diferentes herramientas, y empatizar con las necesidades específicas de nuestro alumnado. Porque, no te engañes, te repites, nadie te asegurará el éxito ante estas situaciones. Ninguna didáctica, ninguna pedagogía -nadie, nunca te podrá decir quién tendrás sentado frente a ti, ni qué espera de ti, ni qué camino debes recorrer para llegar hasta él. Y, al final, eso es lo que importa.

El bosque de la divulgación científica está próximo al de la docencia. Según el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua, “divulgar” es “publicar, extender, poner al alcance del público algo”. Así pues, por definición, la divulgación trata también sobre la transmisión del conocimiento, pero a nivel más general. Te repites: “yo puedo volar también fuera del aula”. Y después te das cuenta de que la divulgación brinda una mejor perspectiva del microclima del aula. Te permite conocer otras muchas metodologías diferentes, otros aspectos de la materia que no aparecen en los libros de texto, otros recursos y otras estrategias. Nada como tratar de explicar la media, la mediana, la regresión por mínimos cuadrados o la historia de las matemáticas, a un público general para reconocer y potenciar aquello que puede funcionar en el aula.

Por último, más lejos, está el bosque de la gestión académica, el lugar donde se establecen las reglas básicas del ecosistema. No hay que olvidar que la gestión de la universidad está ligada a la gestión del propio conocimiento y que son sus propios protagonistas los que mejor conocen los requerimientos y las posibilidades que se ofrecen. El buen gobierno constituye una condición indispensable para que la institución, y toda su fauna y su flora, alcance el prestigio que merece.

Las leyes protegen la cuádruple vertiente del profesor de universidad buscando facilitar
su correcto cumplimiento con libertad y efectividad. Ya la propia Constitución Española, en su artículo 20, reconoce los derechos a expresar y difundir libremente los pensamientos, ideas, opiniones, a la producción y creación literaria, artística, científica y técnica, a la libertad de cátedra y a comunicar o recibir libremente información veraz.

Este documento constituye solo un comienzo y no es, ni mucho menos, una guía de ruta
que presuponga terminada o definitiva debido a su complejidad, la continua evolución de los métodos y metodologías docentes, y a la mía propia como docente. Estoy convencido de que “el vuelo debe continuar”.

Mis técnicas de estudio en matemáticas

PDF: Mis_técnicas_de_estudio

Hoy empezamos el curso 2019/20. Quizás estás pensando en cómo se te darán las diferentes asignaturas. La única persona que tiene la respuesta eres tú. No en vano, tú eres quien tiene la llave de tu aprendizaje. Y aprender es una aventura que requiere un poco de esfuerzo de tu parte.

Cada asignatura requiere técnicas de estudio y aprendizaje diferentes. No es lo mismo estudiar Historia que Matemáticas, eso ya lo sabes. Además, cada uno debemos buscar las estrategias más adecuadas. Igual que cada atleta realiza entrenamientos diferentes para cada prueba, tú también debes encontrar tu propia forma de estudiar.

Pero siempre está bien saber cómo entrenaron aquellos que tienen más experiencia que tú. Aquí te presento algunos aspectos que a mí me funcionaron, y que creo que te pueden funcionar. Las matemáticas son una ciencia muy especial. No te lo plantees como un obstáculo, sino como un juego en el que tienes que participar. En el que te gustará participar.

Ya lo dijo Antonio Machado: “Caminante, no hay camino, se hace camino al andar”. Y, cuando andas, puede que des un mal paso, pero… ¿significa eso que no eres capaz? No, todo lo contrario. Cada error es una oportunidad para aprender. Cada paso estarás un paso más cerca de aprender matemáticas.

Diapositiva1

A partir del siguiente enlace podrás descargar un archivo PDF con diez esquemas donde he tratado de reflejar aquello que a mí me funcionó. Algunos esquemas son más generales, pero he tratado de centrarme en los aspectos más prácticos de las matemáticas. Estas son Mis_técnicas_de_estudio.

Disfruta de las matemáticas y… ¡feliz curso! ¡Que las matemáticas te acompañen!

Alan Mathison Turing #EnHebrasMatemáticas

No me han matado físicamente, no. Es aún peor: me han robado el alma.

Tras haber respondido tantas preguntas, ahora me asalta la más importante: ¿por qué yo?

Me llamo… ALAN MATHISON #TURING … y esta es mi historia.

 

#EnHebrasMatemáticas #Orgullo #Pride

 

Hace unos días, Robin [Gandy] y yo pasamos el fin de semana en Hollymeade. A pesar de todo no me he encontrado mal, me ha alegrado ver cómo ha crecido la vieja enredadera. Aquella casa, que compré con tanta alegría, me ha transportado, sin embargo, a los hogares que dejé olvidados en la memoria. 

Nada me aturde más como viajar a mi más tierna infancia. La oscuridad en el recuerdo es suplida por el frío más gélido, la muerte alrededor de la residencia de ancianos donde nací, o la soledad de la casa de los Ward, que nos acogieron a John y a mí mientras nuestros padres seguían en Madrás. Los veíamos solo en verano, cuando venían a pasar las vacaciones e, inocente de mí, imaginaba su vuelta definitiva como una especie de paraíso infantil.

 

Mi madre volvió a mis cuatro años y, sin embargo, nada cambió. Fue peor: John fue internado inmediatamente y yo le acompañé dos años después. Debíamos aprender latín, debíamos aprender a comportarnos, debíamos responder a nuestro apellido. Debíamos, debíamos… El peso del deber se transformó en rebeldía de tachones desviados en el cuaderno, en negaciones improcedentes, en contestaciones irreverentes. 

 

Mientras tanto, yo observaba la naturaleza y fantaseaba con experimentos químicos, y números, en un viaje continuo hacia lo profundo. Mi esperanza entonces era Sherbone, un instituto privado en el que soñé responder a todas mis preguntas.

http://oldshirburnian.org.uk/alan-turing/

Aún recuerdo las 60 millas que tuve que recorrer el primer día de clase en Sherbone. Ni siquiera una huelga de transportes conseguiría hacerme renunciar a la aventura. Tenía apenas catorce años. Qué eran 60 millas [100 km] frente al universo entero que vislumbraba frente a mí.

 

En el viejo trastero, en Hollymeade, permanecía la última bicicleta que compré. Un grito interior me obligó a subirme. Robin trató de disuadirme. Me preguntó: ¿qué haces, Alan? Ahora que lo he pensado con calma, sé que buscaba reencontrarme conmigo mismo. Pero Alan ya no estaba. 

 

Lo cierto es que mi periplo académico en Sherbone no fue fácil. “Es el tipo de chico que está predestinado a ser un problema en cualquier tipo de escuela o comunidad, siendo en algunos aspectos definitivamente antisocial”, decían mis profesores.

 

Pero en Sherbone conocí a Christopher Morcom. Chris. Los Morcom tenían un telescopio en casa y yo, que había leído a Einstein, que comprendía la teoría de la relatividad, solo quería compartir con él nuestras matemáticas, nuestra física y nuestra química.

 

Chris murió pronto y una parte de mí se fue con él. Tal y como le escribí a su madre, “consideré que mi interés hacia la astronomía y mis demás trabajos era algo para ser compartido con él, y creo que él sentía lo mismo hacía mí”.

 

El telescopio de los Morcom me ayudó a ver otras estrellas. “Mis recuerdos más vívidos de Chris son casi siempre de las cosas tan amables que me decía”. Qué dios habría permitido semejante desgracia. Durante tres años escribí cartas a su madre esperando ver en su respuesta la letra de Chris.

 

Cómo habría deseado estar de nuevo con él… pero nunca más volvió. Y, sin embargo, Chris debía estar en algún lugar. Si no su cuerpo, sí su mente y su alma. Qué días aquellos de búsqueda callada, de preguntas sin respuesta, de despedida.

De vacío.

En el King’s College leí a Hilbert, Gödel y von Neumann; y, sobre todo, me leí a mí mismo. Todos necesitamos que alguien crea en nosotros. Al menos nosotros mismos, pero antes tenemos que conocernos. La mente se convirtió en mi verdadero laboratorio.

 

Muchos de aquellos libros siguen estando en Hollymeade. Robin y yo los estuvimos ojeando. Como la verde e intensa enredadera de la fachada, crecí aferrándome a los recodos sobresalientes de un camino tan oscuro como luminoso.

 

 

En el King’s College también reconocí mi homosexualidad. ¿Es este mi verdadero delito? Lejos de ser un estigma, lo viví como un descubrimiento. Mi vida universitaria se convirtió en un camino de revelaciones en lo personal y lo social.

 

Pero, sobre todo, hice de mi vida la vida que yo quería. James [Atkins] me quiso. Yo creo que también. Como sendos exploradores en una expedición personal, casi espiritual, nos dimos calor y compañía entre manifestaciones pacifistas y liberales de izquierdas.

 

Finalicé mis estudios con muy buenos resultados presentando una demostración del Teorema Central de Límite [febrero de 1934]. Sin embargo, al considerar su publicación, fui informado de una prueba casi idéntica por parte de Lindeberg [9 años antes].

💻 http://www.turingarchive.org/browse.php/c/28

 

En 1935, gané una beca de investigación en el King’s. A partir de ese momento, pude profundizar en aquellos problemas que me parecían más interesantes. Mis primeras elecciones tuvieron su origen en unas lecciones del prof Newman sobre la axiomatización de las matemáticas.

 

Mi máquina de computación lógica [de Turing] emergió con el Entscheidungsproblem sobre la existencia de un procedimiento mecánico para determinar si una proposición era demostrable o no.  Las grandes cuestiones las había formulado el gran #Hilbert unos años antes:

¿Se puede deducir de los axiomas matemáticos que, por ejemplo, 1=0? ¿Se puede deducir, mediante un “procedimiento efectivo”, cualquier propiedad a partir de sus axiomas y reglas de deducción?

 

#Gödel había demostrado que todo sistema axiomático (en apariencia, sin contradicciones) contiene proposiciones indecidibles. Así, a la caza y captura de dichas proposiciones, nació mi “máquina de computación lógica”.

🧵 https://twitter.com/juliomulero/status/1038071176055214081

 

La máquina no era más que un artilugio ideal que constaba de una cinta infinita con ciertos símbolos yuxtapuestos y un lector que avanzaba/retrocedía y borraba/escribía símbolos según su estado.

💻 https://www.youtube.com/watch?v=iaXLDz_UeYY

💻 https://www.youtube.com/watch?v=NS-NQ5mCSs8

 

Este aparato abstracto podía llevar a cabo cualquier tarea algorítmica. Sin embargo, observé que NO eraposible diseñar un procedimiento tal que, dados una máquina y unos input’s, “decidiera” si, tras un número finito de pasos, el proceso pararía o no.

💻  https://blogs.elpais.com/turing/2012/07/turing-el-nacimiento-del-hombre-1912-la-maquina-1936-y-el-test-1950.html

 

Usando el argumento diagonal de #Cantor, mostré que, aunque existen infinidad de números reales que son computables (es decir, que se pueden obtener mediante un algoritmo), existen muchos otros no computables (tantos que ni siquiera son numerables).

🧵 https://twitter.com/juliomulero/status/1084495772836610051

 

Todos mis esfuerzos fueron recogidos en “On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem” donde introduje la máquina de computación lógica, la máquina de computación universal y establecí los límites del concepto de algoritmo.

💻  https://www.cs.virginia.edu/~robins/Turing_Paper_1936.pdf

 

Mi enfoque, un puente entre la lógica y la física, era ciertamente original, pero Alonzo Church, profesor en la Universidad de Princeton, había concluido también sobre la inexistencia de dicho procedimiento mecánico. El prof Church y yo compartimos el reconocimiento.

 

Llegué tarde a la demostración del Teorema Central del Límite y también al estudio de la indecibilidad de las matemáticas. Como ven, la situación se repetía. Nunca me cuestioné si la historia tenía un lugar reservado para mí… pero, díganme, qué habrían pensado ustedes…

 

 

En cualquier caso, el esfuerzo vino a reconciliarme con Chris y su partida, ahora estaba claro: había cosas que no tenían explicación.

 

 

En 1936, viajé a Princeton para trabajar con el prof Church. Allí, bajo su supervisión, realicé mi tesis doctoral y discutimos qué ocurriría si, finalmente, uno de los problemas indecidibles tuviera solución.

💻 http://www.dcc.fc.up.pt/~acm/turing-phd.pdf

 

 

Allí pasé alrededor de dos años y la relación con aquellos grandes científicos supuso un reto profesional y personal. Un horizonte por recorrer. Nunca he disfrutado de grandes habilidades sociales.

 

 

El panorama en #Princeton era muy prometedor junto a los profesores #vonNeumann, Weyl, Church, mi admirado #Einstein y los visitantes Courant y #Hardy (mi antiguo profesor). #Gödel y Kleene se habían marchado poco antes. Lo cierto es que nunca entendí muy bien a los americanos.

 

 

Aún recuerdo la noche que estuve cenando con Church y otros colegas. “Encontré la conversación realmente decepcionante. Estuvieron todo el rato hablando de sus estados de origen. Eso me aburre profundamente”.

Ya no sé, está claro que el principal problema soy yo.

 

Mi principal amistad en Princeton fue Maurice [Price], un antiguo compañero de Cambridge, a través del cual consiguió cierta actividad social. Maurice me hizo ver la necesidad de dar a conocer mi trabajo y envié algunas separatas de “On Computable…”.

 

 

En mis ratos libres comencé a interesarme por la #criptografía y traté de encontrar el cifrado más general que pudiera existir. Encontré uno realmente eficiente. Mi madre estaba orgullosa. Lo sé. Aun así, dudé siempre de la moralidad de estas cosas.

 

 

De aquel tiempo, me arrepiento de no haber tenido más relación con el prof von Neumann. Sus intereses científicos y los míos eran muy similares, tal y como quedó claro más tarde. Sin embargo, él era todo lo contrario a mí. Sus fiestas eran de antología.

 

 

De hecho, me invitó a trabajar juntos en Princeton, pero echaba de menos el ambiente de Cambridge, y volví en el verano de 1938.

 

 

 

Reincorporado en el King’s, me interesé por la teoría de números y planeé la construcción de una máquina para refutar la hipótesis sobre los ceros de la función Z de Riemann, un problema que guarda relación con la distribución de los números primos.

🧵 https://twitter.com/juliomulero/status/1044148574379020288

Sin embargo, el comienzo de la II Guerra Mundial me llevó hasta #BletchleyPark (a 60 km de Londres) donde fui reclutado por el gobierno británico, junto a miles de mujeres y hombres, a fin de descifrar los mensajes alemanes, encriptados con #Enigma.

🧵 https://twitter.com/juliomulero/status/1094990245425229826
El Reino Unido dependía completamente de los suministros que le llegaban desde fuera, principalmente de Estados Unidos.

 

 

 

Sin embargo, los alemanes disponían de un arma temible para los barcos que intentaban llegar a las islas: los submarinos.

 

 

 

Los ataques de los submarinos hacían un gran daño y las pérdidas que infringían eran notables. Las instrucciones del alto mando alemán llegaban por radio y podían ser interceptadas y escuchadas, pero estaban cifradas mediante una máquina llamada #Enigma.

 

Los polacos exiliados ya habían “diseñado” un método manual. Sin embargo, el ejército nazi incluyó una serie de mejoras en el cifrado que hacía imposible sacar provecho de dicho método manual.

 

 

La estructura fija de algunos mensajes nos permitió conocer con certeza la presencia de ciertas palabras que estaban presentes en ellos. Y esa fue la pista básica para crear una máquina, que llamamos #Bomba.

 

 

El cifrado de los submarinos era más complejo y, haciendo uso de la teoría de la probabilidad que siempre me había interesado, diseñé el banburismus para valorar las posibles combinaciones iniciales integrando las distintas fuentes de información.

 

 

Así, armados de #Bombas para #Enigma; de #Colossus, para #Fish; empuñando métodos estadísticos, y una convicción inquebrantable, fuimos atacando las primeras líneas del Führer. Mensaje tras mensaje. Código tras código.

 

 

Solo los que allí vivimos aquellos años sabemos qué noches sin dormir, qué pesadillas, qué oscuridad (qué gelatina negra) nos resbalaba por la frente cuando descubríamos la muerte que se avecinaba. Y no podíamos hacer nada. Nada.

 

 

En el fondo, aquel fue un hogar a prueba de bombas. Allí conocí a tantas personas valiosas, pero, sobre todo, allí estaba Joan [Clarke].

Pensé que ella me haría olvidar mi homosexualidad y llegamos a estar prometidos. La amé tanto. La amo incluso. Pero no. También no la amé.

 

Joan era (es) una joven muy prometedora. Ha llegado a manejar banburismus con gran destreza. Quizás me obnubiló su inteligencia. Pero más allá de eso, Joan es ahora mi amiga. Cómo me habría gustado haber pasado estos días en Hollymeade con ella.

 

 

“Qué vida, Robin, qué vida”, le decía estos días en Hollymeade. Tanto como he hecho por este país… y me han robado el alma.

Tanto que hemos sufrido. Tanto que hemos llorado. Tantas vidas que habremos salvado…

 

La presión disminuyó poco antes de finalizar la guerra y la mayoría fuimos trasladados a #HanslopePark. Allí conocí a Robin y a Don [Bailey], que me ayudó a construir #Delilah, para codificar conversaciones telefónicas. Don no recibió con agrado la noticia de mi homosexualidad.

 

Es irónico, pero la guerra me había aportado cierta estabilidad profesional (incluso emocional). Los años posteriores fueron un ir y venir desde Londres a diferentes ciudades. En mi mente palpitaba la idea de desarrollar una máquina inteligente.

 

 

En Londres colaboré en el desarrollo del ACE, pero pronto marché a Manchester donde se me ofrecieron mejores condiciones de trabajo. Allí propuse el test para determinar si una máquina era inteligente o no [de Turing].

 

 

 

En EEUU, el prof von Neumann había descrito una máquina real similar a la máquina de computación lógica. El National Physical Laboratory (NPL) de Londres no quería quedarse atrás y me encargó el diseño y construcción de la versión británica.

 

 

Womersley, director del NPL, la llamó ACE (Automatic Computing Engine).

No quiero ser sarcástico, pero quizás esa fue su mayor contribución. Sería un buen gestor (tengo mis dudas también), pero como científico…

 

 

 

Las condiciones de trabajo eran nefastas y ya no disponíamos, como en #Bletchley, de todos los medios. Mi frustración fue en aumento y, para desahogarme, me aficioné a las carreras de larga distancia. De no haber sido por una lesión, bien podría haber acudido a las olimpiadas.

 

La decepción era tal que decidí volver a Cambridge para, en principio, un año sabático. Pero no. De estar parado, nada. Si quería que una máquina aprendiera del entorno, debía interactuar con él de forma más potente que la máquina de computación lógica.

 

 

La respuesta la encontré en los modelos del córtex cerebral. y propuse la construcción de máquinas no-organizadas consistentes en redes de pequeños dispositivos/neuronas conectadas entre sí [origen de las redes neuronales, algoritmos evolutivos y aprendizaje por refuerzo].

 

Estas disquisiciones están en poder del nuevo director del NPL, Charles Darwin [nieto de Darwin, teoría de la evolución], pero no ha considerado oportuno publicarlas. En mi opinión, está perdiendo el tiempo [se publicó 20 años después de su muerte].

 

 

Mientras tanto, en Manchester, la primera máquina electrónica universal programable había visto la luz y funcionaba correctamente. El proyecto estaba dirigido por mi viejo amigo Max [Newman], y me propuso la subdirección. Acepté la oferta y renuncié definitivamente al ACE.

 

Allí disfruté de una gran libertad. Retomé mi estudio de los ceros de la función Z de Riemann, por primera vez usando la máquina. Y no olvidé mi idea de que estaban llamadas a realizar cálculos masivos y realizar tareas del más alto nivel, tareas que requieran inteligencia.

 

Imagina que una persona y una máquina están separadas en dos habitaciones. Te ponen en comunicación con ellas sin saber en qué habitación está cada una. Si no eres capaz de distinguir con quién hablas en cada momento, ¿no podríamos decir que la máquina es inteligente?

 

En 1950 publiqué “Computing machinery and intelligence” que comenzaba con la pregunta ¿pueden pensar las máquinas? en la revista Mind. En él, propuse un test [de Turing] para poder determinar de forma empírica cuándo se puede afirmar si una máquina es inteligente o no.

 

La visita a Hollymeade era necesaria. Fui yo quien convencí a Robin para que me acompañara. Las manchas de humedad han formado laberintos en las paredes. Recorrí uno tras otro y no encontré la salida. Nada más el principio. La naturaleza. Mi madre. Chris.

 

Y yo. Ese yo que observaba las flores y las plantas en los jardines de Sherbone. Ese yo que se miraba de cerca la piel de las manos. Ese yo que competía en las carreras y analizaba la trayectoria de cada gota de sudor por mi frente. Zancada a zancada.

 

 

Mi entorno, mi cuerpo, mi naturaleza. Siempre quise volver al origen y, precisamente, el estudio del origen de las formas biológicas [morfogénesis] ha centrado mi trabajo estos últimos años.

En estas notas expongo las bases de mis últimos trabajos.

 

La vida es inabarcable e impredecible, Robin, le decía mientras pasaba las hojas de “On growth and form”, el libro de D’Arcy Thompson.

La vida simplemente se abre un camino de luces y sombras desde lo más sencillo a lo más complejo y deja un rastro de heridas y cicatrices.

 

La morfogénesis es el estudio del origen/desarrollo de las formas biológicas, como las manchas en la piel de los animales.

Su comprensión puede que sea imposible sin acudir a “una simplificación, una idealización, y, por tanto, una falsificación” mediante modelos matemáticos.

 

Con una antorcha prendida de matemáticas, he arrojado luz a mi yo más embrionario, y, “sin usar nuevas hipótesis; he llegado a la conclusión de que ciertas leyes físicas bien conocidas, serían suficientes para dar cuenta de muchos de los hechos” [la morfogénesis].

 

Mi modelo se basa en las ecuaciones de reacción-difusión. En él, dos sustancias (una activadora y otra inhibidora), producidas por dos morfogenes, reaccionan entre sí y se difunden por el  tejido celular [comprobado empíricamente por primera vez por Kondo y Asai en 1995].

 

Me sentí tan orgulloso de la publicación de “The Chemical basis of morphogenesis” (1952) que estuve pensando en tomarme un descanso. Merecido, tal vez.

📃 https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rstb.1952.0012

 

Perdoné entonces a aquel niño de Sherbone y le dije: este eres tú, esto lo has conseguido tú.

Pero nada más lejos de la realidad. Aquel fue el comienzo de esta pregunta final: ¿por qué yo?

 

 

En diciembre de 1951 conocí a Arnold [Murray] en Oxford Street (Manchester). Era un joven encantador de 19 años y no pude resistirme. Le invité a comer. Pocos días después volvimos a quedar en Hollymeade. Siempre Hollymeade.

 

 

Lo recuerdo a torso descubierto caminando por la casa, apoyado en la puerta de la habitación. Aún estos días, quedaba nuestro olor en los pasillos, el rastro de los besos apasionados sobre las sábanas y las cenizas en la chimenea.

 

 

Hubo una segunda vez, también allí; pero entonces Arnold me robó unas libras que tenía en la cartera. Por qué no me las pidió… No le di mayor importancia, pero, pocos días después, alguien entró en casa y la desvalijó.

 

 

A pesar de que el peso de la sospecha recaía sobre él, o sobre alguno de sus amigos, aquella misma noche volví a pasarla junto a él. No fui capaz de sobreponerme a mis instintos. Pero esos mismos instintos me decían: ha sido él, ha sido él.

 

 

Así que, por la mañana, lo llevé a comisaría y no quiso entrar. Pero yo sí. Y entonces, mientras relataba los hechos, admití haber tenido sexo con él tres veces. El robo pasó entonces a segundo plano. ¿Qué va a pasar con todo esto?, pregunté.

 

 

¿No hay ninguna comisión para legalizar la homosexualidad?, dije al terminar mi relato. Cada uno de los actos sexuales conformaba dos delitos diferentes: acto indecente con otro hombre y el crimen recíproco de formar parte de un acto indecente con otro hombre. Seis delitos en total.

 

A finales de febrero de 1952, Arnold y yo acudimos a los juzgados y me concedieron libertad bajo fianza de 50 libras. El juicio comenzó con la frase “El Rey contra Alan Mathison Turing”. El Rey contra mí. Un Rey que había muerto unas semanas antes y no habían sido capaces de corregir el texto.

 

Fui condenado culpable de los seis delitos, igual que Arnold. Pero su abogado esgrimió que, si yo no me hubiera acercado a él, no se habría visto obligado a tal acto sexual ni tampoco a robarme las 8 libras. Arnold salió de la cárcel 12 meses después por buena conducta.

 

Me consta que Max [Newman], llamado como testigo, trató de apoyarme y mi abogado intentó evadir la cárcel proponiendo el tratamiento de organoterapia para erradicar mis conductas indecentes y no echar a perder el intenso trabajo que estaba realizando.

 

 

Finalmente, el juez dictó un tratamiento de un año al que debí someterme en la Enfermería Real de Manchester. No era exactamente lo que yo habría esperado de un país al que le di todo. Le dije a Norman [Routledge] que “sin duda emergería como un hombre diferente”. Y tan diferente.

 

Se supone que el tratamiento con hormonas femeninas consistía en eliminar el deseo sexual y después todo volvería a la normalidad. Pero nada de eso ha pasado.

Mis senos han crecido, he aumentado de peso, sufro disfunción eréctil.

 

Mi cuerpo está perdido y, aun así, sigo sintiendo atracción por los hombres. Hace unos meses, se publicó la descripción de la doble hélice del ADN. Cómo me habría gustado estar en condiciones de estudiar esta cuestión. Pero ya no tengo ni ganas ni fuerzas. Todo ha acabado.

 

Me han robado el alma y ni siquiera me han dejado ver a mi amado Kjell [Carlsen]. Recibí una carta en la que me decía que vendría a visitarme. Qué ilusión me hizo. Pero el tratamiento incluía la desconexión total de mi mundo. Fueron en su búsqueda y nunca más lo he vuelto a ver.

 

Sobreviví al tratamiento, es cierto. Pero me lo han quitado todo. No soy ya la persona que era. Ni siquiera me reconozco. He tratado de reencontrarme, una vez más. He ido a Grecia en busca de sol, de playa, y de amor. Pero nada. Ya está todo perdido.

 

 

No he querido decirle nada a Robin, ni a Joan, ni a Norman, ni siquiera a la señora que cuida mi casa. Todo está mal: Turing cree que las máquinas piensan. Turing yace con hombres. Luego las máquinas no piensan. Eso le escribí a Norman. Todo va a acabar mal.

 

Norman, aquí tienes el resumen que te prometí. Me estoy quedando sin aire porque la vida ya la perdí.

No lo olvides, querido amigo:

“A veces la persona que nadie imagina capaz de nada es la que hace cosas que nadie imagina”.

 

No me han matado físicamente, no. Es aún peor: me han robado el alma.

Vuestro, y preocupado,

Alan

 

*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*-_-*

[El cuerpo de Alan Turing fue encontrado el 7 de junio de 1954, una semana después de su visita a Hollymeade con Robin Gandy. A su lado, una manzana envenenada. Y mordisqueada. A pesar de las evidencias, nadie de su entorno quiso aceptar el suicidio como posible causa.]

[Esta es la historia de Alan Turing, matemático, filósofo, lógico, científico de la computación, criptógrafo y maratoniano británico. Homosexual. Injustamente tratado por amar a personas de su mismo sexo. Pero, sobre todo, un héroe.]

[Un héroe-visionario que estableció las bases de la computación, que insinuó las redes neuronales, que intuyó la inteligencia artificial y que salvó cientos, miles, millones de vidas, desde Bletchley Park.]

[En 2009, Brown se disculpó en nombre del gobierno.

 En 2012, el gobierno de Cameron denegó el indulto aduciendo que la homosexualidad era considerada entonces un delito.

 El 24 de diciembre de 2013, Turing recibió el indulto total por orden de la reina Isabel II.]

[La homosexualidad fue ilegal en el Reino Unido hasta 1967; en España, hasta 1978; en la totalidad de los EEUU, ¡hasta 2003!

Actualmente, catorce estados del mundo prevén la pena de muerte.

A cuántas personas estamos excluyendo. De cuánta inteligencia estamos prescindiendo.]

[Si has leído hasta aquí, muchísimas gracias. Esta historia es conocida por muchos, quizás no todos los detalles, pero es de esas biografías que he escrito con el vello de punta y el mayor respeto y admiración.

Las referencias más importantes en la redacción han sido las siguientes:

M. de León, A. Timón: Rompiendo códigos. Vida y legado de Turing. Editorial La Catarata y CSIC, Madrid, 2014.

J. Copeland, J. Bowen, M. Sprevak y R. Wilson: The Turing Guide. Oxford University Press, London, 2017.

Enlaces:

The Bletchley Park website: https://bletchleypark.org.uk/

The Turing Digital Archive website: http://www.turingarchive.org/

]

 

 

 

 

 

 

 

 

El show de Monty Hall

Bienvenidos al Show de Monty Hall. Una lluvia de premios te espera. El presupuesto solo nos daba para un coche y dos cabras.

Monty te pedirá escoger una puerta y te abrirá una de las otras dos. Lógicamente, te abrirá una tras la que haya una cabra y te preguntará si quieres cambiar tu decisión inicial.

¿Qué harás? ¿Cambiarás de puerta? ¿Mantendrás tu decisión inicial?

Imagina que el coche está en la puerta 1 y que eres una persona muy conservadora. Lo de cambiar no va contigo. Si te mantienes en tu decisión inicial, la probabilidad de ganar el coche es 4/12.

El coche podía estar inicialmente en las puertas 1, 2 ó 3. Esto no cambia la probabilidad anterior. Así pues, si no cambias nunca de puerta, ganarás el coche en el 33.33% de las ocasiones.

Si, por el contrario, lo del conservadurismo no va contigo y decides cambiar de puerta sí o sí, la probabilidad de ganar el coche es 4/6.

De la misma manera, el coche puede estar en las puertas 1, 2 ó 3. En este caso, la probabilidad total de ganar el coche sigue siendo 2/3. Esto quiere decir que si apuestas por cambiar tu elección inicial, ganarás el coche en el 66.66% de las veces que tomes esta misma decisión.

¿Qué quiere decir esto? En pocas palabras, si alguna vez participas en un show como este, lo mejor es que cambies de puerta. Las probabilidades condicionadas están jugando un papel crucial.

CAMBIA, EVOLUCIONA, REINVÉNTATE.

Algunos enlaces donde se describe con más detalle el Problema de Monty Hall son:

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html

http://seiem.es/docs/comunicaciones/GruposXIII/depc/Contreras_Batanero_Fernandes_R.pdf

https://elmaquinadeturing.wordpress.com/2018/11/13/una-explicacion-mas-del-problema-de-monty-hall/

https://www.gaussianos.com/marilyn-vos-savant-la-mujer-que-provoco-el-error-de-erdos/

https://elpais.com/elpais/2017/10/11/el_aleph/1507735936_181445.html