Mis técnicas de estudio en matemáticas

PDF: Mis_técnicas_de_estudio

Hoy empezamos el curso 2019/20. Quizás estás pensando en cómo se te darán las diferentes asignaturas. La única persona que tiene la respuesta eres tú. No en vano, tú eres quien tiene la llave de tu aprendizaje. Y aprender es una aventura que requiere un poco de esfuerzo de tu parte.

Cada asignatura requiere técnicas de estudio y aprendizaje diferentes. No es lo mismo estudiar Historia que Matemáticas, eso ya lo sabes. Además, cada uno debemos buscar las estrategias más adecuadas. Igual que cada atleta realiza entrenamientos diferentes para cada prueba, tú también debes encontrar tu propia forma de estudiar.

Pero siempre está bien saber cómo entrenaron aquellos que tienen más experiencia que tú. Aquí te presento algunos aspectos que a mí me funcionaron, y que creo que te pueden funcionar. Las matemáticas son una ciencia muy especial. No te lo plantees como un obstáculo, sino como un juego en el que tienes que participar. En el que te gustará participar.

Ya lo dijo Antonio Machado: “Caminante, no hay camino, se hace camino al andar”. Y, cuando andas, puede que des un mal paso, pero… ¿significa eso que no eres capaz? No, todo lo contrario. Cada error es una oportunidad para aprender. Cada paso estarás un paso más cerca de aprender matemáticas.

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A partir del siguiente enlace podrás descargar un archivo PDF con diez esquemas donde he tratado de reflejar aquello que a mí me funcionó. Algunos esquemas son más generales, pero he tratado de centrarme en los aspectos más prácticos de las matemáticas. Estas son Mis_técnicas_de_estudio.

Disfruta de las matemáticas y… ¡feliz curso! ¡Que las matemáticas te acompañen!

Ecuaciones, métodos y un billar circular

Cuántas veces habrás calculado las raíces de un polinomio de segundo grado… Todas esas veces has resuelto una ECUACIÓN NO LINEAL.

Sí, ax²+bx+c=0 es una ECUACIÓN NO LINEAL muy especial para la que existe.… ¡una fórmula!

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Las dos raíces (reales o complejas) de un polinomio de segundo grado son

x=(-b±√(b²-4ac))/(2a).

Si b²>4ac, ambas son reales y las puedes visualizar en una representación gráfica.

Son los valores de x para los cuales f(x)=0, los puntos en que la gráfica corta al Eje X, vaya.

Pero no te confundas porque la gran mayoría de las ecuaciones no lineales no se pueden resolver tan fácilmente. De hecho, calcular si el polinomio es de grado tres o cuatro ya no es tan trivial; y, a partir de quinto grado, no existe fórmula general.

Cosas de las matemáticas.

Veamos un ejemplo.
Esto es la representación gráfica de un polinomio de grado 5. En concreto, f(x)= x⁵ – 4.15 x⁴ + 2.975 x³ + 4.15 x² – 3.975 x.

▶️ La raíz x=0 está clara a partir de su expresión analítica puesto que el término independiente vale cero.
▶️ Con Ruffini, sería fácil obtener dos raíces más: x=-1 y x=1.
▶️ La raíz x=1.5 “casi” que la podemos obtener desde la gráfica.

Pero, ¿y la última raíz?

La inexistencia de una fórmula general nos obliga a abordar el problema desde el cálculo numérico.

Esta rama de las matemáticas se encarga de diseñar y analizar algoritmos para resolver “computacionalmente” problemas matemáticos más complejos.

Pues vamos a ello.

🆘ANUNCIO IMPORTANTE:

Los métodos iterativos de los que hablaré a continuación son, desde mi punto de vista, muy atractivos, pero mi intención no es escribir un manual, sino ilustrar de manera intuitiva cuatro métodos numéricos para la resolución de ecuaciones no lineales.

Los métodos iterativos tratan de resolver un problema matemático (como una ecuación no lineal) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial:

x₀ → x₁ → x₂ → …

Algo que sí podemos deducir desde la gráfica es que dicha raíz está, por ejemplo, entre 2 y 3. De hecho, dado que la función es continua, f(2) es negativo y f(3) es positivo (f(2)f(3)<0), el Teorema de Bolzano confirma que existe una raíz en (2,3).

Situémonos en dicho intervalo.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

(1) Elegimos dos valores a y b tales que f(a)f(b)<0 (2 y 3, por ejemplo).
(2) La primera aproximación será el punto medio c=(a+b)/2.
(3) Identificamos el subintervalo donde se produce el cambio de signo.
(4) Repetimos el proceso con dicho subintervalo.

El método de la bisección se puede implementar en Python (o cualquier otro lenguaje de programación) de forma sencilla. En este caso, y con una tolerancia de 0.001, el resultado con cinco pasos es x= 2.6494140625.

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MÉTODO DE NEWTON

(1) Elegimos un valor lo suficientemente cercano a la raíz (por ejemplo, x₀=2.5).
(2) Trazamos la recta tangente en dicho punto.
(3) La primera aproximación x₁ será la intersección de la recta tangente con el eje X.
(4) Repetimos el proceso con x₁.

Si usamos el método de #Newton (también conocido como Newton-Raphson) debemos conocer una aproximación de las derivadas. Esto lo conseguimos con la fórmula de los cinco puntos.

En Python, con una tolerancia de 0.001, se necesitan cuatro pasos y se obtiene x= 2.6500001641745.

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MÉTODO DE LA SECANTE

(1) Elegimos dos valores cercanos a la raíz (por ejemplo, x₀=2.4 y x₁=2.7).
(2) Trazamos la recta que pasa por (x₀,f(x₀)) y (x₁,f(x₁)).
(3) La primera aproximación x₂ es la intersección de la recta con el eje X.
(4) Repetimos el proceso con x₁ y x₂.

El resultado del método de la #secante en #Python con x0=2.4 y x1=2.7 y una tolerancia de 0.001, devuelve x= 2.649997743435441 en cuatro pasos.

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MÉTODO DE REGULA FALSI

El método de “regula falsi” (falsa posición) es una combinación del método de la #bisección y la #secante, tomando las rectas de forma que las intersecciones con el eje X (las sucesivas aproximaciones) estén siempre entre la anterior y la raíz.

El resultado del método de #RegulaFalsi en Python con x0=2.4 y x1=2.7 y una tolerancia de 0.001, devuelve x= 2.64996368 en cuatro pasos.

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Evidentemente, el empleo de estos métodos ha de ser estudiado en profundidad: su convergencia, condiciones, etc.

El polinomio es exactamente p(x)= x(x+1)(x-1)(x-1.5)(x – 2.65), así pues la última raíz es 2.65 y ha sido capturada por los cuatro métodos (de forma MUY aproximada).

✅ Veamos una aplicación muy chula:

Imagina que juegas al billar en una mesa circular y tu objetivo es golpear la bola roja con la verde tras el correspondiente impacto en el borde de la mesa.

¿De cuántas formas podrías golpear la bola verde para conseguirlo?

Efectivamente, son cuatro formas.

Ahora bien, ¿cuáles son los cuatro ángulos determinados por los puntos de impacto que permiten golpear la bola roja (despreciando el tamaño de la bola)?

Lo curioso es que coinciden con las soluciones de f(t)=0 donde R es el radio de la mesa.

17.PNG

En esta animación puedes comprobarlo, pero ¿cómo narices podemos obtener el valor de las cuatro soluciones de esta ecuación no lineal? ¿Quién es el guapo/a que se atreve con ella?

La opción reside, por supuesto, en el empleo de los cuatro métodos anteriores. De hecho, si tomamos una tolerancia de 10^(-6):

biseccion(f,1,5.5,tol) -> 1.5707960724
Newton(f,3.5,100,tol) -> 3.8713203098
secante(f,1,5.5,100,tol) -> 5.5534576509
regula_falsi(f,1,5.5,100,tol) -> 4.7123889803

Este ejercicio aparece en las hojas de la asignatura Cálculo Numérico del primer curso del grado en Física de la Universidad de Alicante en donde tengo el gusto de ejercer parte de la docencia junto con los profesores, compañeros y amigos, Carmen Gandía y Rubén Campoy.

ejerciciobillar.PNG

Pues nada, que hoy es mi cumpleaños y quería celebrarlo compartiendo estas cosas (que son chulísimas).

Muchas gracias y perdón por el rollo que acabo de soltar ;))))))))))))))))))))))))))))))))))

El día de e

Hoy es 7 de febrero y es de justicia hablar de e. Sí, del número e. Y es que hoy, en notación anglosajona, es February 7, es decir, 2.7.

Ingenieros, biólogos, físicos, químicos, matemáticos, paleontólogos, médicos, estadísticos, financieros (as):

Hoy, a lo largo y ancho del mundo, es el día de e.

Mira, te cuento. En realidad, e no es 2.7, sino:

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277

240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966

290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510

190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684…

Este microrrelato puede ayudarte a recordar sus cifras. Bueno, sólo las veinte primeras…

https://ciencias.ua.es/es/san-alberto-magno-2018/x-concurso-de-microrrelatos-matematicos.html

Vamos a conocerlo un poco mejor…

El número e no tiene ni 20 ni 266 cifras. El número e tiene infinitas cifras. Pero no te asustes, porque sólo es un poooco más grande que 2.7 y, desde luego, más pequeño que 2.8.

Es un número muy especial: irracional, trascendente y normal.

1) El número e es irracional.

Ya sabes que muchos números reales pueden obtenerse a partir de una fracción (por ejemplo, 2.7=27/10). Son los llamados racionales. Pues bien, no hay ninguna fracción que sea equivalente al número e.

2) El número e es trascendente.

Muchos números reales son solución de una ecuación. Por ejemplo, cualquier racional p/q es solución de qx-p=0. O √2 (que es irracional) es solución de x^2-2=0. Pues bien, no hay ninguna ecuación con coeficientes enteros cuya solución sea e. Tela.

3) Se piensa que el número e es normal.

Las cifras de e no siguen ningún patrón, pero se intuye que cada cifra del 0 al 9 aparece en la misma proporción. Si esto se cumpliera, el 1 aparecería el 10% de las veces, y el 2, y el 3… Piensa que esto no se cumple, por ejemplo, en un número tan simple como 2.7777… ¿Quién lo demuestra?

Su primera “aparición” (encubierta) fue en un anexo del trabajo donde John Napier  (1614) donde desarrolló los logaritmos. El número e se escondía tras una tabla donde se mostraban los logaritmos neperianos de varios números. Curioso que un número “desconocido” jugara un papel tan crucial, ¿verdad?

Setenta años después, Jacob Bernoulli (1683) estudió el interés compuesto, es decir, el interés monetario sobre una cantidad inicial fija a largo plazo. Jacob reconoció a e como el valor de cierto límite.

Y esto quiero contártelo porque es algo cotidiano. Y porque está guay, vaya

Imagina que ingresas 1€ en una cuenta bancaria a un interés compuesto anual del 100% (situación MUY ficticia, por cierto). Esto quiere decir simplemente que al finalizar cada año doblarás tu capital. Si no empiezas a gastar, que nos conocemos. Jum.

Así, tras el primer año, tendrás 2€; tras el segundo año, 4€; tras el tercero, 8€…

Más generalmente, si tienes en el banco un capital C_0 a un interés compuesto del r% anual, durante n años, obtendrás un capital final de

C_n=C_0(1+r/100)^n

Si fuéramos inmortales, ingresa un euro en el banco a un interés anual del 100% (si cuela) y échate a dormir.

Se dice, se cuenta, que una vez alguien le preguntó a Einstein cuál era la octava maravilla del mundo a lo que Einstein respondió “el interés compuesto”.

Bueno, ok. Hasta aquí de acuerdo.

Ahora imagina que queremos acortar el periodo de capitalización. Por ejemplo, supongamos que acordamos recibir intereses cada trimestre. Esto quiere decir que recibiremos el 25% de intereses cada trimestre (100%/4 trimestres).

Al finalizar el primer trimestre, dispondremos de 1.25€. Al finalizar el segundo, apróximadamente 1.56€. Al finalizar el tercero, 1.95€ (apróx.).

Resulta que tras un año (tras cuatro trimestres) tendremos 2.44€ (apróx.) que es más que lo que recibiríamos con un solo pago del 100%.

Como parece que nos ha ido bien reduciendo el periodo de capitalización, informamos al banco de que queremos que nos paguen cada día. Tras 365 pagos con un interés de 100/365%, acabaremos el año con 2.7145€ (apróx.).

Wow, esto es un chollo. A menor tiempo, más intereses.

¿Qué pasa entonces si decidimos hacer un pago de intereses “continuo”? ¿Qué pasa si dividimos el año en “infinitos” momentos de tiempo?

Vale, sí, ya sé que esto es físicamente imposible, pero ¿y si pudiéramos?

El capital final sería lim_{n->infity} (1+1/n)^n.

Este límite, cuyo valor es e, fue precisamente el que llamó la atención de Jacob Bernoulli. Este límite vale e.

Es decir, tus ingresos no crecerán indefinidamente… ¿Tú no prefieres π a e? Pues aquí tienes lo tienes, poniendo límite a tus caprichosos deseos. Donde las dan, las toman.

Siete años después, Leibniz escribió una carta a Huygens donde, por fin, el valor de e era reconocido (aunque fue llamado b). Fue Euler quién le llamó e (ya sea por la inicial de su nombre o simplemente porque la primera vocal ya estaba siendo usada) en una carta a Goldbach en 1731.

Ingenieros, biólogos, físicos, químicos, matemáticos, paleontólogos, médicos, estadísticos, financieros (as):

Hoy es el #DíaDeE.

Más información en:

Una introducción sencilla: https://soymatematicas.com/numero-e/

Un poco de historia: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html

Otras expresiones y algunas demostraciones: https://www.feandalucia.ccoo.es/docu/p5sd5179.pdf

Sus aplicaciones: https://fme.upc.edu/ca/premi-poincare/edicions-anteriors/premi-poincare-2017/treballs-guanyadors-2017/kronecker.pdf

Librazo: https://www.amazon.com/Story-Number-Princeton-Science-Library/dp/0691168482