Las matemáticas a través de un túnel

La isla de Samos ha pasado a la historia por ser la cuna de Pitágoras en el siglo VI a.C.

Sin embargo, otro hito relacionado con las matemáticas sigue siendo recordado en la actualidad:

LA CONSTRUCCIÓN DEL TÚNEL DE EUPALINO.

Samos estaba gobernada por Polícrates, un tirano que había alcanzado el poder tras un golpe de estado tramado junto a sus hermanos, a los cuales hizo desaparecer rápidamente.

Según cuenta Herodoto, Polícrates gozó de una alta popularidad, estableció vínculos con Egipto y convirtió la isla en un gran centro religioso y cultural.

Bajo su reinado, Samos recibió a los más grandes artistas y eruditos.

“En muy poco tiempo subieron los asuntos de Polícrates a tal punto de fortuna y celebridad que así en Jonia como en lo restante de Grecia se oía sólo en boca de todos el nombre de Polícrates, observando que no emprendía expedición alguna en que no le acompañase la misma felicidad” [Herodoto].

El tirano emprendió tres obras principales: la construcción del templo de Hera, la fortificación de la ciudadela y la excavación de un túnel-acueducto para abastecer de agua a la población.

A nivel constructivo, las matemáticas iban a jugar un papel esencial.

La necesidad de agua era acuciante. Sin embargo, el manantial más cercano se situaba al otro lado del monte Kastro, y Polícrates planteó la urgencia de abastecer del líquido elemento a una población en continuo crecimiento.

Eupalino, un arquitecto natural de Megara, quedó encargado de construir el túnel-acueducto. Y no era trivial.

La obra debía realizarse lo más rápido posible y debía ser subterránea, a fin de evitar su bloqueo en caso de invasión.

Ante tal desafío, el arquitecto acudió al ingenio. Y, ya sabemos que, cuando hablamos de ingenio, suelen aparecer las matemáticas.

Eupalino lo vio claro: la única posibilidad era comenzar la construcción desde ambos extremos.

Solo había un pequeño problema:

Sin conocer la dirección exacta, los obreros podrían pasar años excavando sin encontrarse en el corazón de la montaña.

¿Qué pudo hacer exactamente Eupalino?

Pues bien, nada cierto se conoce debido a que el arquitecto no dejó nada escrito. Solo su obra bajo la montaña.

Sin embargo, Herón de Alejandría (s. I a.C.) describe un método que bien pudo ser la clave.

Eupalino de Megara entró en juego una vez los grupos de obreros estaban formados y los consejeros de Polícrates habían señalado los puntos de entrada y salida del túnel (A y B).

Su solución es sencillamente brillante, y es fiel reflejo del potencial de las matemáticas griegas.

 

En primer lugar, Eupalino debió fijar una dirección arbitraria desde el punto A (llamémosle AK).

Después, el equipo de trabajo debía bordear el monte, desde A, pasando por K, hasta llegar al punto B, a lo largo de una poligonal con tramos perpendiculares.

Las longitudes de los tramos de la poligonal permitieron obtener los catetos de un triángulo rectángulo ΔABC cuya hipotenusa AB representaba el túnel (y, por tanto, la dirección que debía seguir la excavación en ambos lados).

Pocos años antes, Tales de Mileto había establecido las reglas para la mayor herramienta de la mente humana: las matemáticas (tal y como las conocemos ahora con el esquema teorema-demostración).

Y estas encontraron en los triángulos la semilla perfecta.

Por tanto, un arquitecto reconocido como Eupalino, mandado llamar por un gobernante exitoso como Polícrates, debía conocer las cuestiones referentes a la semejanza de triángulos (sus longitudes, sus proporciones, sus razones, sus ángulos).

Así, por ejemplo, Eupalino sabría que:

“Si dos triángulos rectángulos tienen catetos proporcionales, entonces sus ángulos agudos son iguales”.

En otras palabras, si ΔABC es un triángulo rectángulo cuya razón entre los catetos es r=AC/BC, entonces es posible construir otro triángulo rectángulo ΔADE con el mismo vértice A y cuyos catetos responden a la misma razón, de forma que las hipotenusas están alineadas.

Lo cual, en un lenguaje menos coloquial, da lugar a la siguiente propiedad:

“Si ΔABC y ΔADE son dos triángulos rectángulos con un vértice común A, AC y AD son perpendiculares y, además, BC/AC=AD/DE, entonces las hipotenusas AB y AE están en línea recta”.

Tal y como ya hemos comentado, Eupalino habría calculado la longitud de los catetos del triángulo rectángulo en el que el túnel era la hipotenusa, así que pudo obtener fácilmente la razón entre ellos.

En nuestra figura, r=BC/AC=4.15/2.5=1.66.

Por último, atendiendo a la propiedad anterior, el arquitecto construyó dos pequeños triángulos rectángulos, con vértices en A y B, cuyos catetos responden a la razón r (1.66) y sean paralelos a los tramos de la poligonal.

Et voilà! ¡La dirección quedaba fijada!

Otras dos cuestiones, o problemas, quedaban por resolver:

  1. Había que asegurar el encuentro de los dos grupos de obreros aproximadamente en la mitad del túnel.
  2. Había que asegurar el flujo de agua el comienzo hasta el final del túnel.

A fin de resolver el primer problema, Eupalino calculó la longitud del túnel mediante la semejanza de triángulos e indicó a cada uno de los grupos que, cercanos a dicha distancia, giraran hacia la izquierda y la derecha convenientemente. El encuentro quedaba así asegurado.

Por otro lado, a fin de asegurar el flujo de agua, Eupalino pudo haber construido un acueducto exterior provisional bordeando el monte (como la poligonal) y obtener la altura exacta del punto de partida y de llegada.

Como resultado, la ciudadela recibió la tan esperada agua a través del túnel más largo de su tiempo, con 1036 metros de longitud.

El túnel de Eupalino, el Pitagoreo (la ciudadela) y el templo de Hera fueron registrados como Patrimonio de la Humanidad de la Unesco en el año 1992.

Sobre Eupalino de Megara poco más se sabe.

La literatura alabó muchas obras suyas, pero no se conserva ninguna (al menos, con certeza).

La leyenda dice que Polícrates, temeroso de perder el favor de los dioses, lanzó al mar el más valioso de sus anillos.

Un pescador lo encontró y se lo devolvió.

El faraón egipcio, otrora su aliado, rompió su alianza creyendo que era muestra de la pérdida del favor divino.

Y finalmente, conviene tener presente que, aunque todo esto ocurrió en vida de Pitágoras, este se encontraba inmerso en su proceso de formación y pudo haber sido un mero observador de la colosal obra.

Y esta es la historia del túnel de Eupalino. Una historia de ingeniería, de arquitectura y de matemáticas. Una historia en la que las matemáticas entroncan con la leyenda.

¡Muchas gracias por leer este post!